En termes simples, un nombre premier est un nombre supérieur ou égal à deux qui n’a que deux diviseurs : un et lui-même. Pour rappel, un nombre D est un diviseur d’un nombre  𝑁 si 𝑁 peut être divisé en 𝐷 parties égales sans reste. Par exemple, 3 est un diviseur de 6 car 6 peut être divisé en deux parties égales de 3.

Les dix premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Quelques observations générales émergent : tous sont impairs sauf 2, qui est le seul nombre premier pair, et tous les nombres premiers supérieurs à 10 se terminent par 1, 3, 7 ou 9. Ces observations permettent aux mathématiciens de classer les nombres premiers en différentes catégories, au nombre d’environ 75. Parmi elles :

Nombres premiers palindromiques : ce sont des nombres premiers qui se lisent de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche, par exemple 131 ou 757. Tous ces nombres (sauf 11) ont un nombre impair de chiffres. La question de savoir s’il existe une infinité ou un nombre fini de nombres premiers palindromiques reste ouverte.

Nombres premiers jumeaux : ce sont des nombres premiers séparés par 2, comme (3, 5), (5, 7), (11, 13). Le 5 est le seul nombre premier présent dans deux paires jumeaux. Toutes les paires jumeaux supérieures à (3, 5) peuvent s’écrire sous la forme (6n-1, 6n+1), où n est un nombre naturel. Attention, tous les nombres de cette forme ne sont pas forcément premiers : par exemple, (35, 37) = (6×6-1, 6×6+1), et seul 37 est premier.

Nombres premiers cousins : ce sont des nombres premiers dont la différence est de 4, par exemple (13, 17), notés (p, p+4) où p est premier.

Nombres premiers sexy : ce sont des nombres premiers dont la différence est de 6, « sex » en latin, d’où le nom humoristique, comme (5, 11) ou (61, 67).

Prouver qu’il existe une infinité de nombres premiers dans ces catégories est loin d’être trivial. Des mathématiciens comme Zhang, Tao, Baibekov ou Durmagambetov ont contribué à la compréhension des nombres premiers jumeaux, mais aucune preuve formelle n’existe encore pour la conjecture des nombres premiers jumeaux. De même, en août 2014, le groupe Polymath a relié la dénombrabilité des nombres cousins et sexy à une autre conjecture sur la distribution des nombres premiers, la conjecture d’Elliott–Halberstam. Malgré ces difficultés, Euclide nous a démontré que le nombre de nombres premiers est infini.

Les nombres premiers sont au cœur du chiffrement, en particulier dans la méthode RSA, utilisée dans les emails, transactions en ligne, VPN, navigateurs web, etc. Pour un ordinateur, calculer le produit de deux nombres premiers est simple. En revanche, retrouver les nombres premiers originaux à partir d’un grand nombre composite est extrêmement difficile, même pour des superordinateurs.

Dans la méthode RSA, les clés de chiffrement sont choisies comme produit de grands nombres premiers. Seuls ceux qui connaissent les nombres premiers d’origine peuvent déchiffrer le code. Comme le souligne Akash Peshin, ingénieur électronique à l’Université de Mumbai : un pirate tentant de casser un code de 400 chiffres sécurisant des cartes bancaires, avec un ordinateur testant un million de combinaisons par seconde, mettrait environ 10194 secondes pour réussir… comparé à l’âge de l’univers (1018 secondes). Plus les nombres premiers sont grands, plus le déchiffrement devient difficile. Les grands nombres premiers jouent donc un rôle crucial dans la sécurité de nos données.

À petite échelle, la répartition des nombres premiers le long de la droite numérique semble aléatoire. À grande échelle, des motifs apparaissent, mais ils sont difficiles à décrire. Le meilleur outil dont disposent les mathématiciens pour étudier ces motifs est la fonction zêta de Riemann, sur laquelle Bernhard Riemann (1826 – 1866) a basé son hypothèse. La conjecture de Riemann pourrait permettre de prédire la répartition des nombres premiers, ce qui serait révolutionnaire pour la cryptographie.

Comme vous l’avez deviné, cette hypothèse reste non démontrée à ce jour. Outre la reconnaissance scientifique, un prix de 1 000 000 USD attend le mathématicien qui la prouvera !

Bonne chance à tous !